В 1914 году, спасаясь от наступления немцев, семья переехала в Москву. Рядом с домом располагались Ходынская радиостанция (в те годы самая мощная в стране) и Центральный республиканский аэродром. Это соседство стало причиной увлечения мальчика авиацией и радиотехникой. В 13 лет впервые участвовал в полете на самолете: в парке Горького в 1923 году проходила сельскохозяйственная выставка, и за небольшую плату можно было совершить пятиминутный полет. 

В 1929 году закончил среднюю школу и пытался поступить на электротехнический факультет Московского высшего технического училища, но не был принят по причине отсутствия пролетарского происхождения. Борис устроился электромонтёром на Краснопресненский силикатный завод, в 1930 перешел на авиационный завод № 22 имени «Десятилетия Октября» (ныне — Завод имени Хруничева), который занимался разработкой оборудования для новейших самолетов.

 
В 1934 году поступил на вечернее отделение Московского энергетического института, на электромеханический факультет по специальности инженер-электрик. Во время учебы в МЭИ работал над новым изобретением — электрическим бомбосбрасывателем. В 1934 году был направлен в конструкторское бюро Болховитинова и возглавил бригаду, которая работала над оборудованием для самолетов. 

В период до 1945 года активно работал, защитил диплом, поступил в аспирантуру и читал лекции в МЭИ.

 
В 1945–1946 годах находился в Германии, где вместе с другими советскими специалистами изучал трофейную немецкую ракетную технику. Именно в Германии произошла первая встреча Чертока и Королёва. После возвращения в Москву стал работать в НИИ-88, возглавлял отдел «У» (отдел систем управления). Принимал участие в изучении, сборке и первых пусках трофейных ракет Фау-2, затем в разработке, производстве и испытаниях их советского аналога Р-1, а затем и всех последующих советских боевых ракет. 

В 1950 году перешел на работу в ОКБ-1 заместителем начальника отдела № 5 (отдел систем управления). В 1952 году был назначен начальником отдела. Почти весь 1948 год провел в испытаниях Р-1 на полигоне Капустин Яр, в ходе которых были устранены некоторые конструктивные дефекты.

17 июля 1961 года за успешно проведенную подготовку к полету Ю.А. Гагарина Чертоку присвоено звание Героя Социалистического Труда.

 
26 ноября 1968 года был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. С 26 мая 2000 года — действительный член РАН по Отделению механики и процессов управления (системы управления). 

В 1990 году он был также избран действительным членом Международной академии астронавтики. Б. Е. Черток являлся почётным членом Российской академии космонавтики.

12 декабря 2011 года Борису Евсеевичу стало плохо, и он был госпитализирован в больницу РАН. Академик Борис Черток умер 14 декабря 2011 года в Москве от пневмонии, не дожив до векового юбилея менее трёх месяцев. 

Похоронен 16 декабря 2011 года на Новодевичьем кладбище.