Он родился в городе Вичуге 18 (31) августа 1911 года (на тот момент в семье крестьянина д. Сенниково Тезинской вол. Кинешемского у. Костромской губернии). В Красную Армию был призван в мае 1941 году Вичугским райвоенкоматом (это были так называемые «большие учебные сборы» — призыв в армию около 800 тысяч военнообязанных запаса).

Из наградного листа: «Бронепоезд 758 старшего лейтенанта Гудкова А.И. в апреле  1943 года имел задачу прикрыть станцию Валуйки с Ю-З стороны от вражеской авиации. Умело маневрируя огнём и колёсами бронепоезда т. ГУДКОВ всегда неожиданно встречал огнём на подходе к станции, вражескую авиацию, которую сбивал с боевого курса и она в беспорядке сбрасывала бомбы куда попало, не причиняя почти никакого ущерба станции. Показывая образцы смелости и умения в отражении атак самолётов противника, БЕПО-758 под управлением старшего лейтенанта ГУДКОВА за период с 5.3. по 20.4.1943 года сбил девять самолётов противника». 

«Тов. Гудков, участник боёв за Родину против немецких захватчиков, показал мужество, стойкость и отвагу, участник боёв на Воронежском и Юго-Западном фронтах. Руководя огнём бронепоезда 758 „Щорс“, т. ГУДКОВ подавил огнём 13 мая 1944 года три цели. 12 июня 1944 года, поддерживая разведгруппу 599 СП огнём бронепоезда, подавил около 7 целей, кроме того, прикрывал огнём бронепоезда отход разведгруппы из траншей противника, в результате разведгруппа взяла контрольного пленного и без потерь вернулась обратно» (из наградного листа А.И. Гудкова от 16 июня 1944 г.) 

«В боях с немецко-фашистскими захватчиками командир бронепоезда 758 капитан Гудков А.И. за период с 10.1. по 14.1.1945 г. в бою северо-восточнее г. Мемель, руководя огнём бронепоезда, нанёс большой урон пехоте и огневым средствам противника. 10.1.45 г. при наступлении противника огнём отрезал наступающую пехоту противника от танков, тем самым приостановил дальнейшее продвижение вглубь нашей обороны, в результате, неся большие потери, враг был остановлен на рубеже Школа, станция Клауспуссен. С 11.1. по 14.1.45 г. капитан Гудков поддерживал наступление нашей пехоты, всё время вёл прицельный огонь, причем огнём бронепоезда было подавлено 5 пулемётных точек, 1 мин. батарея, 2 наблюдательных пункта, убито до 50 солдат и офицеров пр-ка, взорвана бензоцистерна в районе Пауль-Нармунд» (из наградного листа А.И. Гудкова от 16 января 1945 г.).